Arne Gieshoff lebt als freischaffender Komponist in Köln. Seine Werke wurden unter anderem vom BBC Scottish Symphony Orchestra, Philharmonia Orchestra, London Philharmonic Orchestra, Royal Scottish National Orchestra, Ensemble intercontemporain, Collegium Novum Zürich, mdi ensemble, dem Phorminx Ensemble sowie den Dirigenten Oliver Knussen, Lothar Zagrosek, Clement Power, Richard Baker und Thomas Søndergård aufgeführt. In der Saison 2014/15 war er Sound and Music’s Composer-in-Residence der Birmingham Contemporary Music Group und Composer-in-Residence des niederländischen Ensembles Oerknal.
Gieshoff gehörte dem Soundhub-Programm des London Symphony Orchestra an, war ein London Philharmonic Orchestra Young Composer und wurde als Stipendiat der Mendelssohn Stiftung sowie für das Tanglewood Music Center ausgewählt. Darüber hinaus erhielt er den Royal Philharmonic Society Composition Prize und ein Europäisches Musikautorenstipendium der GEMA. Zum Ende seines Studiums wurde er mit dem President’s Award des Royal College of Music, gestiftet von HRH The Prince of Wales, ausgezeichnet. Von 2015 bis 2017 war er Stipendiat der Hans Werner Henze-Stiftung.
Arne Gieshoff schloss seine kompositorische Ausbildung am Royal College of Music, London, 2015 mit dem Master of Music mit Auszeichnung ab. Dort studierte er mit Jonathan Cole, Simon Holt, Kenneth Hesketh und Dai Fujikura. Darüber hinaus erhielt er Unterricht im Rahmen von verschiedenen Kompositions- und Förderprogrammen unter anderem von Oliver Knussen, Julian Anderson, Colin Matthews, Gerald Barry, Unsuk Chin, Philippe Leroux, Philippe Hurel, Cord Meijering, Markus Hechtle und Johannes Schöllhorn.
Neben seiner kompositorischen Tätigkeit ist Arne Gieshoff Gründer und künstlerischer Leiter des Londoner Ensembles für zeitgenössische Musik „Explore Ensemble“. Seit 2017 ist er Lehrer für Komposition und Improvisation am Peter-Cornelius-Konservatoriums der Stadt Mainz sowie an der Akademie für Tonkust der Stadt Darmstadt.